Essa é uma revisão anterior do documento!
Blog de Mecânica Quântica 1 da Pós - 2012.2
Aula 20, quarta 7/11
- Estados coerentes do oscilador harmônico. Resolvemos novamente o oscilador harmônico clássico, com uma escolha de variáveis que facilita a quantização. Vimos que impor que os valores esperados quânticos sigam a trajetória clássica oscilante de um oscilador harmônico no espaço de fase é equivalente a impor que o estado seja um auto-estado (com autovalor complexo
) do operador de aniquilação
.
- Vimos que a distribuição de probabilidades associadas a medidas de energia em um estado coerente é uma distribuição de Poisson.
- Vimos também que estados coerentes são o estado fundamental do OH, transladado no espaço de fase.
- Princípio de incerteza energia/tempo: vimos que tem uma forma parecida, mas é bem diferente do princípio de incerteza generalizado, já que o tempo não é um observável na MQ.
- Definimos o que significa
(grosso modo, o tempo para que um dado observável tenha uma variação significativa do seu valor esperado), e provamos rigorosamente o princípio de incerteza energia/tempo. Em seguida vimos duas aplicações.
O que vimos hoje corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 23 a 26; páginas 14 e 15. Lembrete: como combinamos, na segunda-feira que vem (12/11) teremos uma aula extra às 10h, na nossa sala 403.
P2, quarta 31/10
As notas já estão disponíveis aqui.
Aula 19, sexta 26/10
Na aula de hoje discutimos vários problemas, principalmente das listas 4 e 5. Na próxima quarta-feira 31/10 teremos nossa segunda prova. Bom estudo!
Aula 18, quarta 24/10
Continuando o oscilador harmônico.
- Mostramos a razão dos operadores que definimos serem chamados de criação e aniquilação.
- Usamos as propriedades de
para encontrar o espectro do operador número N, e portanto do Hamiltoniano.
- Obtivemos os elementos de matriz dos operadores
, e dos operadores x e p, na base de autoestados de energia do OH. Com isso podemos calcular, por exemplo, valores esperados. Aliás, foi o que fizemos em seguida, obtendo as variâncias de x e p para o estado fundamental (comprovamos que é estado de incerteza mínima).
- A partir da ação do operador
no estado fundamental, encontramos sua função de onda, Gaussiana. Em princípio, a partir dela podemos encontrar todos os estados excitados do OH, aplicando sucessivamente o operador de criação.
- Em seguida estudamos a dinâmica do OH, e encontramos x(t) de duas formas diferentes: usando as equações de movimento de Heisenberg para x e p; e usando o operador de evolução temporal.
O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 17 a 22.
Você pode explorar os auto-estados do OH usando esta simulação online, dá para ver auto-estados de vários problemas 1D, incluindo o OH, criar superposições e vê-las evoluindo, etc. As autofunções do OH bidimensional também são interessantes, vejam aqui.
Aula 17, sexta 19/10
- Descrições de Schrodinger e Heisenberg. Exemplo de operador evoluído por translação.
- Obtivemos a equação de movimento para os operadores na descrição de Heisenberg.
- Estudamos a partícula livre, obtendo as soluções x(t) e p(t) para os operadores na descrição de Heisenberg. Calculamos a relação de incerteza para o par x(t) e x(0), mostrando que a variância cresce com o tempo. Em seguida acrescentamos um potencial e de novo resolvemos para x(t) e p(t), obtendo o teorema de Ehrenfest, que mostra que os valores esperados em mecânica quântica seguem a dinâmica clássica dada pela 2a Lei de Newton.
- Vimos como os vetores-base também mudam na representação de Heisenberg (já que são autovetores de um observável que em geral muda).
- Oscilador harmônico quântico. Começamos escrevendo a Hamiltoniana em função de x e p, reescrevendo-a em função dos operadores
e
, que são combinações lineares adimensionais dos operadores x e p. Na próxima aula vamos encontrar os auto-estados e auto-valores de energia do oscilador harmônico quântico.
O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 7 a 13 e 16. Reparem que mudei um pouco a ordem de apresentação, veremos o princípio de incerteza energia/tempo somente depois da P2.
Aula 16, quarta 17/10
- Soluções da equação de Schrodinger (para o operador de evolução temporal). Vimos 3 casos: 1) Quando H é indep. de t; 2) quando H depende de t, mas H(t) comuta com H(t') para todo par de tempos; 3) H(t) com dependência temporal arbitrária. Encontramos a solução formal explícita para os dois primeiros casos; não trataremos do 3o, pois a solução é aproximada (série de Dyson). No que faremos no resto deste capítulo assumimos que H é independente de t.
- Vimos que os auto-estados de energia não mudam no tempo; e que por isso, os valores esperados de qualquer observável para os autoestados de energia não mudam também; por isso esses autoestados são também chamados de estados estacionários.
- Se tivermos superposições dos auto-estados de energia, então surge uma dependência temporal dos valores esperados dos observáveis. As frequências características dessa dependência temporal são relacionadas às diferenças de energias do sistema.
- Tratamos da precessão de um spin 1/2 em campo magnético constante. Encontramos o operador de evolução temporal e vimos que os valores esperados dos componentes do momento angular descrevem um movimento de precessão em torno do campo magnético.
- Introdução às duas descrições alternativas da dinâmica quântica: a de Schrodinger e a de Heisenberg.
O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 2 a 7. OBS.: a lista 5 já está disponível.
Aula 15, quarta 10/10
- Descrevendo subsistemas com operadores densidade: como o estado de um subsistema pode ser um estado misto, mesmo quando o estado do sistema completo é puro.
- Definimos a matriz densidade reduzida de um subsistema e vimos como calculá-la fazendo o traço parcial sobre a matriz densidade do sistema completo. Vimos um exemplo desse cálculo.
- Se o estado global é puro mas a matriz densidade de alguma parte é um estado misto, então é porque o estado é emaranhado.
- Dinâmica quântica. Encontramos o operador de evolução temporal de forma similar à que encontramos outros operadores de transformações contínuas dos vetores de estado. Se soubermos calcular o operador de evolução temporal de um sistema, sabemos calcular como ele estará em qualquer ponto no futuro, dado o estado inicial.
- O operador de evolução temporal satisfaz uma equação diferencial para operadores, que encontramos. Aplicando os operadores dessa equação em um ket, obtivemos a equação de Schrodinger para vetores de estado. Ou seja, a equação de Schrodinger para estados é consequência da equação de Schrodinger para o operador de evolução temporal.
O que vimos corresponde à notas de aula do cap. 2, páginas 13 a 15, e cap. 3, páginas 1 e 2.
Aula 14, sexta 5/10
- Desigualdades de Bell. Começamos obtendo a desigualdade CHSH, sobre produtos de variáveis que só podem assumir os valores +1 ou -1. Considerando um grande número de conjuntos de 4 variáveis assim, encontramos uma versão da desigualdade válida para valores médios dos produtos dessas desigualdades. Essa é a desigualdade CHSH, um exemplo simples de uma desigualdade de Bell.
- Em seguida discutimos um cenário em que são feitas medidas em dois sistemas afastados, com resultados dicotômicos. Vimos que se duas hipóteses valeres, os resultados devem satisfazer a desigualdade CHSH. As hipóteses são: os valores revelados estavam pré-definidos (realismo); e a medida feita por A não afeta o resultado de B, e vice-versa (localidade).
- Em seguida descrevemos medidas sobre pares emaranhados que violam a desigualdade CHSH, logo violam as hipóteses acima. Esse resultado é muitas vezes chamado de não-localidade quântica. Vimos também que é fácil violar CHSH se houver comunicação entre as partes, e mudanças nos valores dos resultados dependendo dessa comunicação.
- Essa não-localidade é uma surpresa quântica que a diferencia de outras teorias físicas clássicas, e tem aplicações na área de informação quântica, como a criptografia quântica (ou troca quântica de chaves criptográficas) e o teletransporte quântico.
O que vimos corresponde às quatro novas páginas do capítulo 2 (entre as páginas originalmente numeradas 12 e 13).
Algumas referências:
- Neste artigo Mermin descreve uma prova diferente da não-localidade quântica, que ficou conhecida como resultado (ou paradoxo) GHZ-Mermin.
- Eu escrevi um livro de divulgação científica explicando as bases da computação quântica, que é uma proposta de usar efeitos curiosos da mecânica quântica (como o emaranhamento) para processar informação de maneira mais eficiente. Para os curiosos, nossa biblioteca tem dois exemplares do livro para empréstimo.
- O prêmio Nobel de Física de 2012 saiu hoje (9/10), para David Wineland e Serge Haroche, que demonstraram controle experimental de sistemas quânticos individuais, como fótons e íons armadilhados. Leiam mais sobre as suas realizações.
Aula 13, quarta 3/10
- Vimos como reconhecer a diferença entre estados puros e mistos, usando o traço do quadrado do operador densidade.
- Os operadores densidade formam um conjunto convexo.
- Exemplos de operadores densidade para um spin 1/2.
- Sistemas compostos e o produto tensorial de dois espaços de Hilbert.
- Estados emaranhados puros: estados que não são estados produto.
O que vimos corresponde às notas de aula do capítulo 2, páginas 6 a 12.
Aula 12, sexta 28/9
- Vimos brevemente como generalizar tudo que discutimos para o caso de partícula se movimentando no espaço tridimensional.
- Começamos um novo capítulo: formalismo do operador densidade.
- Vimos que o operador densidade é um objeto matemático prático para descrever uma mistura estatística de estados puros, tenham eles sido gerados por um processo natural (como a luz que vem do sol) ou artificialmente, por um físico experimental num laboratório.
- Vimos também que uma superposição quântica é bem diferente de uma mistura estatística.
- Propriedades do operador-densidade: 1- é Hermitiano; 2- é um operador positivo semi-definido; 3- seu traço é 1.
- Estados puros também podem ser representados por um operador densidade, no caso um projetor.
- Propriedades do espectro do operador-densidade: os autovalores são números positivos entre zero e um, e somam 1, ou seja, têm a interpretação de probabilidades. São as probabilidades associadas a uma preparação simples que gera a matriz-densidade (vimos que não há uma correspondência um-a-um entre preparações e matrizes-densidade, várias preparações diferentes podem corresponder à mesma matriz-densidade).
O que vimos hoje corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 56 a 57; e cap. 2, páginas 1 a 5.
Aula 11, quarta 26/9
Hoje discutimos os problemas da primeira prova. Em seguida:
- Obtivemos a forma do operador momento na base de posições.
- Discutimos como fica a representação da função de onda no espaço dos momentos, ou seja, a expansão do vetor de estado na base de auto-estados de momento.
- Vimos que as funções de onda no espaço das posições e dos momentos se relacionam por uma transformada de Fourier.
- Pacotes de onda Gaussianos: calculamos as variâncias de x e p e vimos que são funções de onda de incerteza mínima, ou seja, saturam o princípio de incerteza generalizado que derivamos. Vimos também como “apertando” um pacote (diminuindo a incerteza em x, por exemplo), leva a um alargamento da incerteza na variável conjugada (no caso, p).
O que vimos hoje correspondem às notas de aula do cap. 1, páginas 53 a 55.
Prova 1, sexta 21/9
As notas já estão disponíveis aqui.
Aula 10, quarta 19/9
Hoje resolvemos vários problemas das três primeiras listas e outros mais, como revisão para a prova da próxima sexta-feira, 21/9.
Aula 9 (extra), segunda 17/9
- Translações infinitesimais e seu efeito sobre auto-estados de x.
- Discussão mais geral de transformações contínuas de estados quânticos. Para preservar norma elas têm que ser unitárias ou anti-unitárias; mas transformações contínuas têm que ser unitárias. Vimos a forma da transformação infinitesimal em termos de um operador Hermitiano conhecido como o gerador da transformação. Encontramos também a forma das transformações finitas:
, onde K é o gerador e s é o parâmetro da transformação.
- Calculamos o comutador de x com o operador de translação infinitesimal. Com isso, encontramos o comutador de x com o gerador K. Para recuperar a mesma forma das translações na mecânica clássica, K deve ser proporcional ao momento p, com constante de proporcionalidade com dimensão de 1/ação. Usamos para essa constante o inverso da constante de Planck, e encontramos a forma do operador de translação para estados quânticos em termos do operador de momento linear.
- Considerando translações finitas encontramos que os diversos componentes do momento linear comutam entre si; e encontramos a relação de comutação fundamental entre os operadores x e p. Com isso, nas próximas aula vamos encontrar a forma explícita do operador momento na base de auto-estados de x.
O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 45 a 50.
Aula 8, sexta 14/9
- Mudando de base: vimos como construir um operador unitário que leva os vetores de uma base ortonormal A nos vetores de outra base ortonormal B.
- Vimos como encontrar a representação matricial de um vetor e de um operador na base B, se conhecemos os mesmos na base A, usando o operador unitário de mudança de base correspondente.
- Propriedades do traço, uma função de operador que não depende da base (vocês provaram a propriedade cíclica do traço em uma lista, essas propriedades são consequência).
- Observáveis equivalentes: encontramos um observável equivalente a um observável A fazendo a transformação de A usando um unitário qualquer U. Provamos que observáveis equivalentes a A têm o mesmo espectro de A.
- Descrição de partículas: como generalizar os resultados matemáticos que obtivemos até agora para o caso de espaços de Hilbert descritos por parâmetros contínuos, como o necessário para descrever uma partícula em 1D ou 3D.
- Discutimos como funcionaria uma medida de posição numa partícula, usando os postulados que já conhecemos da MQ.
O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 37 a 44.
Lembrem da aula extra nesta segunda-feira 17/9. Também disponibilizei a lista 3, que não deve ser entregue - é só uma sugestão de problemas que vocês devem tentar fazer antes da prova, correspondentes a esse finzinho da matéria antes da P1. A aula de quarta-feira deve ser predominantemente de revisão: resolução de exercícios das listas e tira-dúvidas.
Aula 7, quarta 12/9
Hoje discutimos brevemente algumas dúvidas da lista, e em seguida provamos e discutimos a relação de incerteza generalizada.
- A relação de incerteza estabelece cotas para a variância estatística dos resultados de medidas independentes de dois observáveis - não é necessário que eles sejam medidos conjuntamente, cada um pode ser medido em um subensemble, desde que o estado dos dois sub-ensembles sejam o mesmo. Essa forma de entender o princípio da incerteza evita discussões improdutivas sobre a interpretação da teoria, e o debate sobre se uma medida afeta o valor (não-medido) da outra.
- Lembrem que a relação de incerteza depende do par de observáveis em questão e do estado quântico do sistema - essa dependência com o estado é muitas vezes negligenciada nos livros.
- Mais adiante encontraremos estados que saturam a desigualdade, eles são conhecidos como estados de incerteza mínima.
O que vimos hoje corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 34 a 36. Eu também gosto da forma que o Ballentine discute o princípio da incerteza, vejam a seção 8.4 do livro dele. O mesmo vale para a discussão breve na seção 7.3 do livro “Lectures on Quantum Theory” de Chris J. Isham.
Aulas 1 a 6, 15/8 a 31/8
Nas primeiras aulas tratamos de enunciar os principais postulados da mecânica quântica, enquanto fomos desenvolvendo os fundamentos matemáticos necessários para isso. Um resumo do que estudamos até agora:
- Experimento de Stern-Gerlach, inclusive em sequência.
- Postulado 1 (vetores-estado para descrição do estado de um sistema quântico). Propriedades de espaços vetoriais, produto interno. Vetores versus raios no espaço de Hilbert.
- Desigualdade de Schwarz, desigualdade triangular.
- Espaço vetorial dual ao dos vetores estados (kets): o espaço dos bras, funcionais lineares nos kets.
- Operadores lineares. Conjugado Hermitiano de um operador, produto externo de bra com ket, definição e propriedades de operadores Hermitianos. Base de autovetores de op. Hermitiano, relação de completeza.
- Projetores. Representação de operadores lineares por matrizes quadradas. Representação espectral de operadores.
- Exemplos usando spin 1/2.
- Postulado da medida. Valores esperados.
- Postulado do estado pós-medida, e seu enunciado usando projetores.
- Exemplos usando spin 1/2: encontrando os operadores
e
.
- Funções de operadores: como definir usando a expansão em série de funções.
- Observáveis compatíveis: têm autovetores comuns. Conjunto completo de observáveis que comutam.
- Observáveis incompatíveis: não têm base completa de autovetores comuns. Medidas sequenciais necessariamente mudam a estatística obtida.
O que vimos até agora corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 1 a 33b.